\documentclass[12pt, a4paper]{article}
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\newcommand{\bvec}[1]{\ensuremath{\mathbf{#1}}}
\newcommand{\formula}[1]{\text{式} \ref{#1} }

\begin{document}
	\section{瞬时惯性系与相对论加速运动}
	\footnote{本笔记使用AI辅助。}
	我们仍然假设在地面参考系（当然这是一个惯性系）$S1$中，有一个粒子正沿$x$轴运动。
	不过这次，它的运动不再是匀速的，而是在加速：其任一时刻速度为$v^{(1)} = v^{(1)} (t^{(1)} )$，加速度为$a^{(1)} = a^{(1)} (t^{(1)})$。
	
	\subsection{瞬时惯性系}
	与匀速运动不同，我们无法找到一个单一的惯性系使该粒子保持静止。
	另一方面，虽然引入非惯性系可以让粒子静止，但Lorentz变换并不能直接处理非惯性系。
	因此，我们需要更聪明的方法，例如，引入“瞬时惯性系”这一概念。
	在任意时刻 $t^{(1)}$，都可以定义一个惯性参考系，其速度恰好等于粒子在该时刻的速度$v^{(1)}$。
	那么，在这一瞬间，粒子相对于该惯性系是静止的。
	这个特定的惯性系，就称为粒子在时刻 $t^{(1)}$ 的“瞬时惯性系”。
	通过为每一时刻都定义这样一个瞬时惯性系，我们便可以运用Lorentz变换来间接处理加速运动的问题。
	
	\subsection{例子：一维“匀加速”的粒子}
	
	\begin{figure}[h]
		\centering
		\includegraphics[width=0.5 \linewidth]{mcrf}
		\caption{示意图}
		\label{fig:mcrf}
	\end{figure}
	
	如何运用瞬时惯性系来解决问题？我们举一个简单的“匀加速”粒子的例子。
	这里的“匀加速”指的是在任一瞬时惯性系中观察到的粒子的加速度相同，而非在$S1$中加速度相同。
	\begin{itemize}
		\item 在参考系 $S1$（地面系）中，某一时刻 $t_A^{(1)}$粒子的速度为 $v_A^{(1)}$。  
		
		\item 此时我们引入一个与粒子瞬时共速的惯性系 $S2$，即在该时刻 $S2$ 与粒子相对静止，并将观察视角从 $S1$ 切换至 $S2$。
		在 $S2$ 中，粒子的瞬时速度为零：$v_A^{(2)} = 0$，并设此时刻为 $t_A^{(2)} = 0$。  
		
		\item 在 $S2$ 中经历一小段时间 $\dd t^{(2)}$ 后，即在 $t_B^{(2)} = \dd t^{(2)}$ 时刻，粒子由于受到加速度作用获得微小速度增量：
		$
		\dd v^{(2)} = a^{(2)} \, \dd t^{(2)}
		$，
		其中 $a^{(2)}$ 为粒子在 $S2$ 系中的瞬时加速度。因此，在 $t_B^{(2)}$ 时刻，粒子在 $S2$ 系中的速度为 $v_B^{(2)} = \dd v^{(2)}$。
		顺带一提，在这段时间内，$S2$中粒子经过的路程是$\dd x^{(2)} = 1/2 a^{(2)} (\dd t^{(2)})^2$，是二阶小量，可以省略。
		
		\item 接着，我们将参考系切换回 $S1$，以考察粒子在此“过程”中速度的变化。
		根据相对论速度叠加公式，$S1$ 系中观察到的粒子新速度 $v_B^{(1)}$ 为
		$
		v_B^{(1)} = \frac{v_A^{(1)} + \dd v^{(2)}}{1 + \dfrac{v_A^{(1)} \cdot \dd v^{(2)}}{c^2}}
		$。
		然而，这一“过程”的时长在 $S1$ 中是什么？
		根据相对论“钟慢”效应，两个参考系中同一过程的时长并不相同：
		$
		\dd t^{(1)} = \gamma \, \dd t^{(2)}
		$
		其中
		$
		\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{(v_A^{(1)})^2}{c^2}}}
		$。
		
		\item 反复运用以上方法，不断在各个时刻定义惯性系，就能推知粒子全程的运动学规律。
	\end{itemize}
	综上，在 $S1$ 系中，
	在
	$$
	\dd t^{(1)} = t_B^{(1)} - t_A^{(1)} = \gamma \, \dd t^{(2)}
	$$
	的时间内，粒子的速度变化量为：
	\begin{equation}
		\dd v^{(1)} = v_B^{(1)} - v_A^{(1)} 
		= \frac{v_A^{(1)} + \dd v^{(2)}}{1 + \dfrac{v_A^{(1)} \cdot \dd v^{(2)}}{c^2}} - v_A^{(1)}
	\end{equation}
	这给出了在地面系中观测到的速度随时间变化的微分关系。
	
	使用一些不超过\textsl{毕导幼儿园的微积分知识（Hint：Taylor展开）}整合上二式，改写得到
	\begin{equation} \label{eq_ode}
		\dd v^{(1)} = (1-(v^{(1)}/c)^2) a^{(2)} \frac{\dd t^{(1)}}{\gamma} = (1-(v^{(1)}/c)^2)^{3/2} a^{(2)} \dd t^{(1)}
	\end{equation}
	这是一个常微分方程，将含$v, a$的项分别分到两侧
	\begin{equation}
		\frac{\dd v^{(1)}}{(1-(v^{(1)}/c)^2)^{3/2}} = a^{(2)} \dd t^{(1)}
	\end{equation}
	为求解这个常微分方程，只需两步同时积分，取初始时刻、速度均为$0$，解得
	\begin{equation}
		\frac{v^{(1)}}{(1-(v^{(1)}/c)^2)^{1/2}} = a^{(2)} t^{(1)}
	\end{equation}
	改写上式，即可得到$S1$中速度：
	\begin{equation}
		v^{(1)} = \frac{a^{(2)} t^{(1)}}{\sqrt{1+(\frac{a^{(2)} t^{(1)}}{c})^2}}
	\end{equation}
	对其关于时间求导，还能得到$S1$中的加速度：
	\begin{equation}
		a^{(1)} = \dv{v^{(1)}}{t^{(1)}} = \frac{a^{(2)}}{(1+(\frac{a^{(2)}t^{(1)}}{c})^2)^{3/2}}
	\end{equation}
	这就是相对论下的“匀加速”运动。尽管在任一瞬时惯性系中粒子均具有恒定的加速度$a^{(2)}$，但在地面系$S1$观察者看来，粒子的“加速度”越来越低，速度也从不超过光速。
	
	在低速情况下，\formula{eq_ode} 中的$v^{(1)} /c \to 0$，简化为经典力学下的公式
	$\dd v^{(1)} = a^{(2)} \dd t^{(1)}$。此时加速度无所谓在地面系还是瞬时惯性系中观察。
	
	\subsection{例子：4-速度的语言}
	使用4-向量的语言，我们也可以完成上述推导，并且数学上更为简明，物理上更为普遍，也方便推广至任意曲线运动。
	但我们依然沿用上述例子的题设。
	\begin{itemize}
		\item 在参考系 $S1$（地面系）中，某一时刻 $t_A^{(1)}$粒子的4-速度为 $U_A^{(1)}$。 
		\item 此时切换至瞬时惯性系$S2$。众所周知，Lorentz变换描述了两个惯性系间的转换规律，例如：
		$$
		U_A^{(2)} = 
		L U_A^{(1)}
		\qquad L = 
		\begin{pmatrix}
			\gamma & -\gamma \beta & 0 & 0 \\
			-\gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\
			0 & 0 & 1 & 0 \\
			0 & 0 & 0 & 1
		\end{pmatrix}
		$$
		其中
		$
		\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{(v_A^{(1)})^2}{c^2}}},
		\beta = \frac{v^{(1)}_A}{c}
		$；
		理论上需要使用一步Lorentz变换转换4-速度，但我们很确定此时$S2$中粒子的4-速度是$U_A^{(2)} = (c,0,0,0)$，因为$S2$是粒子的瞬时惯性系。
		
		\item 在 $S2$ 中经历一小段时间 $\dd t^{(2)}$ 后，粒子的4-速度是$U_B^{(2)} = (c, a^{(2)} \dd t^{(2)},0,0)$
		\footnote{容易验证，此时$ \frac{1}{\sqrt{1-(\frac{a^{(2)} \dd t^{(2)}}{c})^2}} \approx 1 + 0 \cdot \dd t^{(2)}$，因此可以省去}
		
		\item 将 $S2$ 的 $U_B^{(2)}$转换回$S1$的$U_B^{(1)}$，需要使用Lorentz逆变换：
		$$
		U_B^{(1)}
		= L^{-1} U_B^{(2)}
		=
		\begin{pmatrix}
			\gamma & \gamma \beta & 0 & 0 \\
			\gamma \beta & \gamma & 0 & 0 \\
			0 & 0 & 1 & 0 \\
			0 & 0 & 0 & 1
		\end{pmatrix}
		\begin{pmatrix}
			c \\
			a^{(2)} \dd t^{(2)} \\
			0 \\
			0 \\
		\end{pmatrix}
		=
		\begin{pmatrix}
			c \\
			a^{(2)} \dd t^{(2)} \\
			0 \\
			0 \\
		\end{pmatrix}
		=
		\begin{pmatrix}
			\gamma c + \gamma \beta a^{(2)} \dd t^{(2)} \\
			\gamma \beta c + \gamma a^{(2)} \dd t^{(2)} \\
			0 \\
			0 \\
		\end{pmatrix}
		$$
		即
		$$
		U_B^{(1)} = 
		\gamma(1 + \frac{\beta a^{(2)} \dd t^{(2)}}{c})
		\begin{pmatrix}
			c \\
			\frac{\gamma \beta c + \gamma a^{(2)} \dd t^{(2)}}{\gamma(1 + \frac{\beta a^{(2)} \dd t^{(2)}}{c})} \\
			0 \\
			0 \\
		\end{pmatrix}
		$$
		这么拆分的原因是，根据4-速度的定义，4-速度的第零分量总是$c$乘上$\gamma$因子。因此
		$$
		v_B^{(1)} = \frac{\beta c + a^{(2)} \dd t^{(2)}}{1 + \frac{\beta a^{(2)} \dd t^{(2)}}{c}} \\
		$$
		此结果和上述一致，随后依然需要代换$\dd t^{(2)}$为$\dd t^{(1)}$等。
	\end{itemize}
	我们还可以使用4-加速度的语言完成推导，但结果无疑是相同的，\textsl{交给读者作为练习}。
	
\end{document}
